EşitsizliklerSoru #9490
(x - 2)^2 . (x + 3) / (x - 5) <= 0
eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı kaçtır?
eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı kaçtır?
- A)7
- B)8
- C)9
- D)10
- E)11
Cevabı ve çözümü göster
Doğru cevap: D) 10
Çözüm: Kökler: x = 2 (çift katlı kök, sıfır yapar), x = -3 (tek katlı), x = 5 (payda kökü).
İşaret incelemesi:
(-sonsuz, -3]: - (sağlar)
[-3, 2]: +
[2, 5): +
(ancak x = 2 payı sıfır yaptığı için eşitsizliği sağlar: 0 <= 0).
x > 5 için + / + = +.
Durum kontrolü: Payda x - 5 < 0 olduğu aralık (-sonsuz, 5) aralığında (x + 3) > 0 ise sonuç negatif olur:
[-3, 5) aralığında ifade <= 0:
x = -3'ten 5'e kadar incelersek:
x = 2 için sonuç 0 <= 0 sağlar.
Pozitif tam sayılar (x > 0):
x = 1 için: (1-2)^2*(4)/(-4) = 1*4/-4 = -1 <= 0 (sağlar!)
x = 2 için: 0 <= 0 (sağlar!)
x = 3 için: (1)*(6)/(-2) = -3 <= 0 (sağlar!)
x = 4 için: (4)*(7)/(-1) = -28 <= 0 (sağlar!)
x = 5 payda tanımsız.
Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4.
Toplamları: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Doğru cevap D'dir.
İşaret incelemesi:
(-sonsuz, -3]: - (sağlar)
[-3, 2]: +
[2, 5): +
(ancak x = 2 payı sıfır yaptığı için eşitsizliği sağlar: 0 <= 0).
x > 5 için + / + = +.
Durum kontrolü: Payda x - 5 < 0 olduğu aralık (-sonsuz, 5) aralığında (x + 3) > 0 ise sonuç negatif olur:
[-3, 5) aralığında ifade <= 0:
x = -3'ten 5'e kadar incelersek:
x = 2 için sonuç 0 <= 0 sağlar.
Pozitif tam sayılar (x > 0):
x = 1 için: (1-2)^2*(4)/(-4) = 1*4/-4 = -1 <= 0 (sağlar!)
x = 2 için: 0 <= 0 (sağlar!)
x = 3 için: (1)*(6)/(-2) = -3 <= 0 (sağlar!)
x = 4 için: (4)*(7)/(-1) = -28 <= 0 (sağlar!)
x = 5 payda tanımsız.
Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4.
Toplamları: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Doğru cevap D'dir.